Умблик
Вероятностные модели
Все распределения
Вероятность и статистика · Распределения

Равномерное непрерывное распределение

Вероятность как доля длины: плотность, CDF, моменты и равномерные преобразования.

9 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Модель даёт прозрачную геометрическую основу для вероятностей интервалов, квантилей и линейного преобразования стандартной равномерной величины.

Главная идея. Непрерывный равномерный закон на [a,b] распределяет вероятность пропорционально длине: плотность равна 1/(b − a), а отдельная точка имеет вероятность ноль.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Проверьте конечные границы a < b и пересеките интересующее событие с носителем [a,b], прежде чем измерять его длину.
  2. Разделите длину оставшегося подынтервала на полную длину b − a; включение отдельных концов ответа не меняет.
  3. Для CDF внутри носителя используйте (x − a)/(b − a), а квантиль уровня q получите как a + q(b − a).
  4. Проверьте E[X] = (a + b)/2 и Var(X) = (b − a)²/12, не перенося сюда формулу для конечного набора целых.

Частая ошибка. Считать плотность, превышающую единицу, невозможной вероятностью либо путать равномерный выбор вещественной точки с равномерным выбором целого.

Как проверить себя. Плотность имеет размерность обратной длины и превращается в вероятность после интегрирования. На [1,6] точка 4 имеет шанс 0, а у честного кубика — 1/6.

Схема к теме

Наглядная модель: Равномерное непрерывное распределение

Вероятность как доля длины: плотность, CDF, моменты и равномерные преобразования.

Наглядная модель: Равномерное непрерывное распределениеВероятность как доля длины: плотность, CDF, моменты и равномерные преобразования.равномерноенепрерывноедлинаплотностьРавномерноенепрерывноераспределение
  • Равномерное непрерывное распределение → равномерное непрерывное
  • Равномерное непрерывное распределение → длина
  • Равномерное непрерывное распределение → плотность
Схема связывает понятие «Равномерное непрерывное распределение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для X ~ U(2,6) найдите вероятность 0 ≤ X ≤ 3 и объясните, почему сначала нужно пересечь событие с носителем, получив [2,3].

В хорошем объяснении есть:

  • Полная длина носителя равна 4.
  • Длина допустимой части события равна 1.
  • Получена вероятность 1/4, а не 3/4.

Не точки, а длины

Непрерывная равномерная модель на [a,b] означает, что вероятность попасть в подынтервал пропорциональна его длине. Конечные границы удовлетворяют a < b. Если два подынтервала одной длины целиком лежат в [a,b], их вероятности одинаковы.

Здесь невозможно присвоить каждой точке одну и ту же положительную вероятность: точек бесконечно много. Для отдельного значения P(X=x)=0P(X=x)=0. Положительную вероятность имеют интервалы; плотность 1/(b−a)1/(b-a) задаёт вероятность на единицу длины.

Как вычислять вероятность

Для подынтервала [c,d] внутри носителя вероятность равна (d−c)/(b−a)(d-c)/(b-a). Если интервал выходит за носитель, сначала пересеките его с [a,b]. Пустое пересечение даёт ноль. Включение или исключение концов не меняет результат, поскольку у отдельных точек нет массы.

CDF сначала постоянна и равна 0, затем линейно растёт от a до b, затем равна 1. Квантиль уровня q находится непосредственно: a+q(b−a)a+q(b-a). Это даёт и способ генерации: из равномерного U на [0,1] получаем X = a + (b − a)U.

Три примера

  1. Ожидание автобуса по условной модели. Пусть момент прихода пассажира равномерен между двумя отправлениями, а интервал отправлений ровно 10 минут. Тогда время ожидания можно моделировать U(0,10). Шанс ждать от 2 до 5 минут равен 3/10 = 0,3. Это модель прихода пассажира, не универсальный закон реальных автобусов.

  2. Плотность больше единицы. Для U(0,0,2) плотность равна 5. Это не вероятность 500 %: на интервале [0,0,1] площадь равна 5 · 0,1 = 0,5. В точке 0,1 вероятность всё равно ноль.

  3. Носитель и пересечение. X равномерна на [2,6]. Для события 0 ≤ X ≤ 3 в носителе остаётся [2,3], поэтому вероятность 1/4. Среднее равно 4, дисперсия 16/12 = 4/3. Квантиль 0,75 равен 2 + 0,75 · 4 = 5.

Чего не означает равномерность

Среднее середины интервала следует из симметрии модели, а не из того, что наблюдения обязаны идти попарно. Выборочное среднее будет случайным. И равномерность по одной шкале обычно исчезает после нелинейного преобразования: если X равномерна на [0,1], то P(X2≤y)=yP(X^2\le y)=\sqrt y для y между 0 и 1, а не y.

Не путайте этот закон с равномерным выбором целого. На целых от 1 до 6 вероятность точки 4 равна 1/6; на непрерывном [1,6] она нулевая. Даже дисперсии разные: 35/12 и 25/12 соответственно.

Работа с исследователем

Выберите сначала [0,10], затем [0,0,2]. PDF поменяет высоту, но полная площадь останется единицей. На CDF полная высота всегда 1. Сгенерируйте ряд и сравните частоты попадания в равные интервалы; таблица показывает теоретическую вероятность каждого столбика отдельно от его наблюдаемой частоты. Псевдослучайный алгоритм вычисляется в конечной машинной точности и не выдаёт буквально все вещественные точки.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)=1b−a(a≤x≤b)f(x)=\frac1{b-a}\quad(a\le x\le b)

Формула словами: Вне [a,b] плотность 0; конечные a < b.

F(x)=x−ab−a(a≤x≤b)F(x)=\frac{x-a}{b-a}\quad(a\le x\le b)

Формула словами: До a функция равна 0, после b равна 1.

EX=a+b2,D(X)=(b−a)212\mathbb E X=\frac{a+b}{2},\quad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}

Формула словами: Среднее и дисперсия непрерывного равномерного закона.

Исследуйте модель

Параметры модели

Равномерное непрерывное

Непрерывное

a < b. В отдельной точке вероятность равна нулю, хотя плотность положительна.

f(x)=1b−a,a≤x≤bf(x)=\frac1{b-a},\quad a\le x\le b

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: [0; 10].

Форма распределения

Равномерное непрерывное: плотность f(x). Окно от 0 до 10. Числовая таблица расположена ниже.00,0280,0560,0840,11202,557,510f(x) · плотностьx · значение

Высота кривой — плотность, не вероятность точки. Вероятность интервала равна площади под кривой; плотность может быть больше 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (241 точек)
xf(x)
00,1
0,0416670,1
0,0833330,1
0,1250,1
0,1666670,1
0,2083330,1
0,250,1
0,2916670,1
0,3333330,1
0,3750,1
0,4166670,1
0,4583330,1
0,50,1
0,5416670,1
0,5833330,1
0,6250,1
0,6666670,1
0,7083330,1
0,750,1
0,7916670,1
0,8333330,1
0,8750,1
0,9166670,1
0,9583330,1
10,1
1,0416670,1
1,0833330,1
1,1250,1
1,1666670,1
1,2083330,1
1,250,1
1,2916670,1
1,3333330,1
1,3750,1
1,4166670,1
1,4583330,1
1,50,1
1,5416670,1
1,5833330,1
1,6250,1
1,6666670,1
1,7083330,1
1,750,1
1,7916670,1
1,8333330,1
1,8750,1
1,9166670,1
1,9583330,1
20,1
2,0416670,1
2,0833330,1
2,1250,1
2,1666670,1
2,2083330,1
2,250,1
2,2916670,1
2,3333330,1
2,3750,1
2,4166670,1
2,4583330,1
2,50,1
2,5416670,1
2,5833330,1
2,6250,1
2,6666670,1
2,7083330,1
2,750,1
2,7916670,1
2,8333330,1
2,8750,1
2,9166670,1
2,9583330,1
30,1
3,0416670,1
3,0833330,1
3,1250,1
3,1666670,1
3,2083330,1
3,250,1
3,2916670,1
3,3333330,1
3,3750,1
3,4166670,1
3,4583330,1
3,50,1
3,5416670,1
3,5833330,1
3,6250,1
3,6666670,1
3,7083330,1
3,750,1
3,7916670,1
3,8333330,1
3,8750,1
3,9166670,1
3,9583330,1
40,1
4,0416670,1
4,0833330,1
4,1250,1
4,1666670,1
4,2083330,1
4,250,1
4,2916670,1
4,3333330,1
4,3750,1
4,4166670,1
4,4583330,1
4,50,1
4,5416670,1
4,5833330,1
4,6250,1
4,6666670,1
4,7083330,1
4,750,1
4,7916670,1
4,8333330,1
4,8750,1
4,9166670,1
4,9583330,1
50,1
5,0416670,1
5,0833330,1
5,1250,1
5,1666670,1
5,2083330,1
5,250,1
5,2916670,1
5,3333330,1
5,3750,1
5,4166670,1
5,4583330,1
5,50,1
5,5416670,1
5,5833330,1
5,6250,1
5,6666670,1
5,7083330,1
5,750,1
5,7916670,1
5,8333330,1
5,8750,1
5,9166670,1
5,9583330,1
60,1
6,0416670,1
6,0833330,1
6,1250,1
6,1666670,1
6,2083330,1
6,250,1
6,2916670,1
6,3333330,1
6,3750,1
6,4166670,1
6,4583330,1
6,50,1
6,5416670,1
6,5833330,1
6,6250,1
6,6666670,1
6,7083330,1
6,750,1
6,7916670,1
6,8333330,1
6,8750,1
6,9166670,1
6,9583330,1
70,1
7,0416670,1
7,0833330,1
7,1250,1
7,1666670,1
7,2083330,1
7,250,1
7,2916670,1
7,3333330,1
7,3750,1
7,4166670,1
7,4583330,1
7,50,1
7,5416670,1
7,5833330,1
7,6250,1
7,6666670,1
7,7083330,1
7,750,1
7,7916670,1
7,8333330,1
7,8750,1
7,9166670,1
7,9583330,1
80,1
8,0416670,1
8,0833330,1
8,1250,1
8,1666670,1
8,2083330,1
8,250,1
8,2916670,1
8,3333330,1
8,3750,1
8,4166670,1
8,4583330,1
8,50,1
8,5416670,1
8,5833330,1
8,6250,1
8,6666670,1
8,7083330,1
8,750,1
8,7916670,1
8,8333330,1
8,8750,1
8,9166670,1
8,9583330,1
90,1
9,0416670,1
9,0833330,1
9,1250,1
9,1666670,1
9,2083330,1
9,250,1
9,2916670,1
9,3333330,1
9,3750,1
9,4166670,1
9,4583330,1
9,50,1
9,5416670,1
9,5833330,1
9,6250,1
9,6666670,1
9,7083330,1
9,750,1
9,7916670,1
9,8333330,1
9,8750,1
9,9166670,1
9,9583330,1
100,1

Точка и интервал

P(X = 5)
0 %
Плотность f(5)
0,1
P(X ≤ 5)
50 %
P(X > 5)
50 %
P(0 ≤ X ≤ 10)
100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X)
5
Дисперсия D(X)
8,333333

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Повторить результат по ключу
Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.