Вероятность и статистика · Распределения

Равномерное дискретное распределение

Равные шансы целых значений, включённые границы и отличие от непрерывной равномерности.

8 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Он моделирует честный выбор из конечного набора последовательных целых и учит отличать подсчёт допустимых точек от измерения длины непрерывного интервала.

Главная идея. Дискретный равномерный закон распределяет одинаковую массу между целыми a, a + 1, …, b. Число точек равно b − a + 1, потому что обе границы входят в носитель.

План рассуждения и проверка понимания

Перечислите целые значения от a до b включительно и посчитайте их как m = b − a + 1, не теряя одну из границ.
Назначьте каждой допустимой точке массу 1/m, а вероятность события найдите подсчётом подходящих целых значений.
Для CDF до целой части x включительно посчитайте накопленные точки; между соседними целыми функция остаётся горизонтальной.
Проверьте среднее симметрией (a + b)/2 и дисперсию формулой (m² − 1)/12, включая случай a = b.

Частая ошибка. Использовать длину вещественного интервала вместо числа целых точек или переносить сюда дисперсию непрерывного равномерного распределения.

Как проверить себя. В событии 1,5 ≤ X ≤ 4,2 для кубика участвуют только 2, 3 и 4. Атомы имеют положительные массы, поэтому формулы непрерывной модели здесь неприменимы.

Схема к теме

Наглядная модель: Равномерное дискретное распределение

Равные шансы целых значений, включённые границы и отличие от непрерывной равномерности.

Равномерное дискретное распределение → равномерное дискретное
Равномерное дискретное распределение → кубик
Равномерное дискретное распределение → целые значения

Схема связывает понятие «Равномерное дискретное распределение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для равномерного выбора целого от −2 до 2 объясните вероятность события |X| ≤ 1 и получите среднее и дисперсию без обращения к длинам.

В хорошем объяснении есть:

Посчитаны пять точек носителя.
В событие включены −1, 0 и 1.
Симметрия использована для среднего 0.

Все целые значения имеют одинаковый шанс

Если случайно выбирают одно из целых чисел a, a + 1, …, b и все варианты равновероятны, получается дискретное равномерное распределение. Количество вариантов равно $b-a+1$ , поскольку включены оба конца.

Кубик с честными гранями от 1 до 6 — обычный пример. Но если номиналы граней повторяются, равновероятность граней уже не означает равновероятности разных написанных чисел. Закон определяется значениями величины и их суммарными вероятностями.

Носитель и CDF

Для целых a ≤ b каждая допустимая точка имеет массу 1/(b − a + 1), остальные точки — массу 0. При a = b есть только одно значение и вероятность его равна 1. Отрицательные границы допустимы: они не меняют идею равных шансов.

При $a\le x<b$ CDF равна $(\lfloor x\rfloor-a+1)/(b-a+1)$ . Она ступенчатая: между соседними целыми значениями накопленная вероятность не растёт. До a она нулевая, начиная с b — единица.

Среднее и разброс

Симметрия конечного набора даёт среднее (a + b)/2. Обозначим число значений m = b − a + 1. Дисперсия равна (m² − 1)/12. Её можно вывести, сведя X к величине с носителем 1, …, m и используя суммы первых m чисел и их квадратов.

Это не та же формула, что у непрерывного равномерного закона на [a,b]. В непрерывном случае точек бесконечно много и вероятность каждой отдельной точки нулевая. Здесь конечное число атомов с положительной массой.

Три примера

Честный кубик. Для a = 1, b = 6 имеется шесть значений. P(X = 4) = 1/6. Среднее равно 3,5, дисперсия 35/12 ≈ 2,916667. Невозможный в одном броске результат 3,5 остаётся корректным математическим ожиданием.
Целое число от −2 до 2. Пять равновероятных значений: −2, −1, 0, 1, 2. Для события |X| ≤ 1 подходят три из пяти, ответ 3/5. Среднее равно 0; дисперсия (25 − 1)/12 = 2.
Нецелые границы события. Кубик снова честный. Для P(1,5 ≤ X ≤ 4,2) подходят только 2, 3 и 4. Ответ равен 3/6 = 1/2. Длина интервала 2,7 не используется: вероятность определяется числом допустимых целых точек, а не геометрической длиной.

Равномерность должна следовать из механизма

Если человек «случайно» называет число, числа могут иметь разные шансы. Равномерность нельзя получить одним перечислением вариантов; требуется симметрия устройства, корректный алгоритм или явное модельное допущение.

Генератор исследователя использует псевдослучайное число и равные подынтервалы для выбора целой точки. В конечной выборке частоты обычно отличаются. При a = b результат постоянен, что легко проверить независимо от seed. Попробуйте также широкий носитель: окно показывает не более 200 значений, а подписи хвостов сообщают, какая вероятность осталась за экраном.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=\frac1{b-a+1},\quad k=a,a+1,\ldots,b

Формула словами: Целые a ≤ b; обе границы включены.

\mathbb E X=\frac{a+b}{2},\quad D(X)=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}

Формула словами: Моменты равномерного распределения на последовательных целых.

Исследуйте модель

Параметры модели

Равномерное дискретное

Дискретное

Обе целые границы включены; a = b задаёт постоянную величину.

P(X=k)=\frac1{b-a+1},\quad k=a,\ldots,b

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [1; 6].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (6 точек)

x	P(X=x)
1	0,166667
2	0,166667
3	0,166667
4	0,166667
5	0,166667
6	0,166667

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 3): 16,666667 %
P(X ≤ 3): 50 %
P(X > 3): 50 %
P(1 ≤ X ≤ 6): 100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 3,5
Дисперсия D(X): 2,916667

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборки

Повторить результат по ключу

Seed — начальное значениеПустое поле — новая случайная серия. Для точного повтора укажите ключ из сохранённых результатов и те же параметры.

Опыт оживает на весь экран

Кнопка «Сгенерировать» создаёт весь указанный объём. Отдельное наблюдение показывает один результат с анимацией. CSV содержит всю показанную выборку.

Выборка ещё не создана.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик Вероятность события

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

NIST Dataplot: Probability Distributions — discrete uniform (откроется в новой вкладке)