Пуассоновский процесс
Счётчик событий с независимыми приращениями и экспоненциальными ожиданиями.
Чему научимся
Модель одновременно описывает число событий и их времена, связывая пуассоновские счётчики, экспоненциальные межприходные интервалы и гамма-время до k-го события.
Главная идея. Пуассоновский процесс N(t) — неубывающий счётчик с единичными скачками: приращение на интервале длины h имеет Pois(λh), а непересекающиеся приращения независимы.
План рассуждения и проверка понимания
- Зафиксируйте интенсивность λ в событиях на единицу времени и различайте её с параметром счётчика λt на конкретном интервале.
- Проверьте N(0) = 0, целочисленные неубывающие траектории и независимость приращений на непересекающихся временных участках.
- Выведите P(T₁ > t) из события N(t) = 0 и нулевой пуассоновской массы exp(−λt), получая экспоненциальное ожидание.
- Для моделирования генерируйте независимые экспоненциальные интервалы и накапливайте их; один случайный счётчик не задаёт всю траекторию.
Частая ошибка. Называть сам процесс стационарным из-за стационарности приращений или после долгой паузы ожидать компенсирующего повышенного числа событий.
Как проверить себя. E[N(t)] = λt меняется со временем, поэтому N(t) не стационарен. Экспоненциальные интервалы не имеют памяти и не компенсируют прошлое молчание.
Наглядная модель: Пуассоновский процесс
Счётчик событий с независимыми приращениями и экспоненциальными ожиданиями.
- 1. Наблюдаем — фиксируем текущее состояние
- 2. Переходим — применяем правило перехода
- 3. Проверяем — сравниваем вероятности исходов
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами
При λ = 2 события в час свяжите три утверждения: E[N(3)] = 6, P(N(0,5) = 0) = exp(−1) и средний интервал 1/2 часа.
В хорошем объяснении есть:
- Для каждого горизонта вычислен параметр λt.
- Нулевая масса связана с временем первого события.
- Интенсивность отличена от среднего интервала.
События и время
Пуассоновский процесс описывает случайные моменты событий и число событий к каждому времени. Его параметр λ — интенсивность, то есть среднее число событий на единицу времени. У распределения счётчика за интервал длины t параметр уже λt; путать эти два числа нельзя.
Определение модели
N(0)=0, траектории целочисленные неубывающие с единичными скачками, правосторонне непрерывные. Приращения на непересекающихся интервалах независимы и имеют пуассоновский закон с параметром, равным интенсивности, умноженной на длину интервала. Это одновременно задаёт стационарность приращений, но сам N(t) не стационарен: E N(t)=λt.
Ожидания между событиями
Время до первого события больше t ровно тогда, когда за (0,t] не произошло ни одного события. Нулевая пуассоновская масса равна exp(−λt), поэтому ожидание экспоненциально с интенсивностью λ. Последовательные межприходные интервалы независимы и имеют тот же закон. Сумма k таких интервалов имеет гамма-закон с формой k и масштабом 1/λ.
Как моделировать и проверять
Генерируйте независимые положительные экспоненциальные интервалы, накапливайте их до выбранного горизонта и считайте только события внутри него. Тогда одновременно получаются траектория счётчика и времена ожидания. Выбор одной пуассоновской массы даёт только конечное число, но не всю траекторию.
Реальные поступления с сезонностью, пакетами и взаимным влиянием могут нарушать модель. После длительного молчания однородный пуассоновский процесс не обязан «компенсировать отставание»: память ожидания отсутствует. При λ=0 получается отдельный вырожденный процесс без событий; экспоненциальная формула с конечным средним ожидания тогда не применяется.
Три примера
- При λ=2 событиям в час за 3 часа среднее число равно 6 и дисперсия тоже 6.
- Вероятность не увидеть событий за полчаса при λ=2 равна exp(−1), примерно 0,367879.
- При λ=4 в час средний интервал между событиями 1/4 часа. Среднее время до третьего события 3/4 часа.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Однородный пуассоновский процесс интенсивности λ>0: приращения на непересекающихся интервалах независимы.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Открываем задание…
Открываем задание…
Открываем задание…
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.