Вероятность и статистика · Случайные величины

Плотность вероятности

Почему вероятность — площадь, а не высота графика, и как проверить корректность плотности.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Понятие позволяет работать с непрерывными распределениями, проверять корректность заданной функции и понимать, почему плотность может быть выше единицы, если общая площадь остаётся единицей.

Главная идея. Плотность показывает концентрацию вероятностной массы на единицу длины, но сама её высота не является вероятностью точки. Вероятность интервала равна площади — интегралу плотности на этом интервале.

План рассуждения и проверка понимания

Укажите формулу плотности вместе с областью действия и нулевым значением вне носителя, если это требуется моделью.
Проверьте неотрицательность и нормировку: интеграл по всей прямой должен быть равен единице.
Для нужного интервала проинтегрируйте f(x) по его границам; не подставляйте одну высоту вместо площади.
Проверьте ответ по диапазону от нуля до единицы и по единицам: плотность и вероятность имеют разную размерность.

Частая ошибка. Увидеть плотность 2 на отрезке длины 0,5 и объявить вероятность равной 2, хотя вероятность должна учитывать ширину выбранной области.

Как проверить себя. Умножьте постоянную высоту на длину интервала или возьмите интеграл; на всём отрезке [0; 0,5] площадь 2 · 0,5 равна 1.

Схема к теме

Наглядная модель: Плотность вероятности

Почему вероятность — площадь, а не высота графика, и как проверить корректность плотности.

Плотность вероятности → плотность
Плотность вероятности → PDF
Плотность вероятности → площадь

Схема связывает понятие «Плотность вероятности» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Для f(x) = 2x на [0; 1] объясните, почему это корректная плотность и почему вероятность X ≤ 0,5 равна 0,25, а не 1.

В хорошем объяснении есть:

Функция неотрицательна, а интеграл от 0 до 1 равен единице.
Интеграл от 0 до 0,5 равен x² на границах, то есть 0,25; высота в правой точке не заменяет площадь.

Плотность — вероятность на единицу длины

Плотность $f(x)$ описывает, насколько вероятностная масса сосредоточена около значения $x$ . Вероятность интервала — интеграл плотности, то есть площадь под графиком. При непрерывности $f$ и малом положительном $h$ приближённо $P(x<X<x+h)\approx f(x)h$ .

Плотность неотрицательна, а её интеграл по всей прямой равен 1. Значение $f(x)$ может превышать единицу: ограничена площадь, не высота. Если $X$ измеряется в секундах, плотность имеет размерность «на секунду». Отдельная точка имеет нулевую вероятность даже там, где плотность положительна.

Как задавать функцию полностью

Нужно указать не только формулу, но и область её действия. Запись $f(x)=2x$ без ограничения не годится: при отрицательных $x$ она отрицательна. Формула $2x$ на $[0,1]$ и ноль вне этого отрезка — корректная плотность, поскольку интеграл равен 1. На концах можно изменить отдельные значения без изменения вероятностей.

Три примера

Для равномерной величины на $[0,0.5]$ плотность равна 2. Вероятность интервала $[0.1,0.2]$ равна $2\cdot0.1=0.2$ , а не 2.
Если $f(x)=2x$ на $[0,1]$ , то $P(X\le0.5)=\int_0^{0.5}2x\,dx=0.25$ . Равные по длине интервалы здесь не равновероятны.
Постоянная плотность $c$ на $[2,6]$ должна удовлетворять $4c=1$ , значит $c=1/4$ . Вне отрезка она равна нулю.

Ошибки

Нельзя суммировать высоты непрерывного графика как массы дискретного закона: нужно учитывать ширину интервала. Функция распределения получается накопленным интегралом плотности. Обратное равенство $f=F'$ действует в соответствующем смысле там, где производная существует; скачки функции распределения нельзя описать обычной плотностью.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)\ge0,\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

Формула словами: Условия плотности; значения в отдельных точках на распределение не влияют.

P(a<X<b)=\int_a^b f(x)\,dx

Формула словами: Площадь под плотностью на интервале.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.