Вероятность и статистика · Случайные величины

Закон распределения

Полное описание вероятностей случайной величины: таблица, функция распределения и плотность.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Полный закон позволяет вычислить любое событие о величине, ожидание и разброс. Он также показывает, что разные исходные эксперименты могут давать одинаковую числовую величину.

Главная идея. Закон распределения полностью сообщает, как вероятность распределена между значениями случайной величины: таблицей масс, плотностью или универсальной функцией распределения. Одного среднего для этого недостаточно.

План рассуждения и проверка понимания

Определите случайную величину как функцию исхода и перечислите её различные возможные значения без дубликатов.
Для каждого значения объедините все исходы, которые к нему приводят, и сложите их вероятности.
Проверьте неотрицательность и нормировку таблицы; для непрерывной модели аналогично проверяйте плотность или F(x).
Для требуемого события выберите подходящие значения и сложите их массы, не восстанавливая лишние подробности исходного опыта.

Частая ошибка. Назначить значениям числа орлов 0, 1 и 2 равные вероятности по одной трети только потому, что в таблице три строки.

Как проверить себя. Соберите вероятности исходов: в двух честных бросках массы равны 1/4, 1/2 и 1/4, потому что значение один получается двумя последовательностями.

Схема к теме

Наглядная модель: Закон распределения

Полное описание вероятностей случайной величины: таблица, функция распределения и плотность.

Закон распределения → закон распределения
Закон распределения → таблица вероятностей
Закон распределения → нормировка

Схема связывает понятие «Закон распределения» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Постройте закон выигрыша 0 или 10 жетонов при честной монете и объясните, почему другой механизм с теми же двумя массами задаёт тот же закон величины.

В хорошем объяснении есть:

Записаны значения 0 и 10 с вероятностями по 1/2, а сумма масс проверена.
Отделён закон числового выигрыша от физических подробностей эксперимента: важны значения и их вероятности.

Что задаёт закон

Закон распределения сообщает, с какой вероятностью случайная величина попадает в каждое допустимое множество значений. В конечном дискретном случае достаточно таблицы всех значений и вероятностей. Для величины с плотностью закон задаётся плотностью через интегралы. Универсальный одномерный способ — функция распределения $F(x)=P(X\le x)$ .

Закон относится к числовой величине, а не ко всем подробностям исходного опыта. Два разных механизма могут давать одинаковое распределение. Например, индикатор чётности честной кости и индикатор орла честной монеты оба принимают 0 и 1 с вероятностями по $1/2$ .

Как составлять таблицу

Сначала перечисляют возможные значения без повторений. Затем для каждого значения объединяют все исходы, которые его дают, и складывают их вероятности. Наконец проверяют неотрицательность и сумму 1. Если часть значений невозможна, им соответствует нулевая вероятность; в краткой таблице их обычно не пишут.

Три примера

За игру платят 10 жетонов при орле и 0 при решке. Закон выигрыша: значения 0 и 10 с вероятностями $1/2$ и $1/2$ .
За два независимых броска честной монеты начисляют по одному баллу за орла. Значения 0, 1, 2 имеют вероятности $1/4,1/2,1/4$ , а не по одной трети.
В таблице значения $-1,0,2$ имеют вероятности 0.2, $a$ , 0.5. Из нормировки $a=0.3$ . Тогда $P(X\ne0)=0.7$ .

Границы информации

Одинаковые средние не означают одинаковые законы. Даже совпадение среднего и дисперсии не определяет распределение полностью. По отдельным законам $X$ и $Y$ нельзя восстановить закон их суммы без информации о совместном поведении; независимость является такой дополнительной информацией. Наблюдаемая таблица частот — оценка закона, а не доказательство точных вероятностей.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

p_i\ge0,\qquad\sum_i p_i=1

Формула словами: Условия корректной таблицы полного дискретного закона.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Математическое ожидание Дисперсия

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.