Вероятность и статистика · Основы вероятности

Случайный эксперимент

Описываем опыт, исходы и события так, чтобы вероятность отвечала на понятный вопрос.

7 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Корректное описание опыта определяет, что именно считается результатом, важны ли порядок и возвращение и какие исходы возможны. Без этой модели последующие вероятности могут отвечать на другой вопрос.

Главная идея. Случайный эксперимент — заранее описанное действие с неизвестным конкретным результатом. Исход фиксирует результат одного испытания, а событие объединяет исходы, удовлетворяющие заданному условию.

План рассуждения и проверка понимания

Одним предложением опишите действие, число повторений, способ выбора, возвращение предметов и сохраняется ли порядок.
Выберите достаточную форму элементарного исхода и перечислите пространство Ω без пропусков и дубликатов.
Задайте событие как проверяемое подмножество исходов и только затем назначайте или вычисляйте вероятности.
Проверьте допущения модели: симметрия, равновозможность и исключённые физические случаи должны быть названы, а не подразумеваться.

Частая ошибка. Считать три значения числа орлов 0, 1, 2 равновозможными при двух честных бросках, забыв, что значение 1 имеет две упорядоченные реализации.

Как проверить себя. Начните с четырёх равновозможных исходов ОО, ОР, РО, РР; сокращённая величина «число орлов» объединяет их с массами 1/4, 1/2, 1/4.

Схема к теме

Наглядная модель: Случайный эксперимент

Описываем опыт, исходы и события так, чтобы вероятность отвечала на понятный вопрос.

Случайный эксперимент → опыт
Случайный эксперимент → испытание
Случайный эксперимент → исход
Случайный эксперимент → событие
Случайный эксперимент → пространство исходов

Схема связывает понятие «Случайный эксперимент» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Сравните извлечение двух карточек А, Б, В с возвращением и без возвращения, сохраняя порядок, и объясните изменение пространства исходов.

В хорошем объяснении есть:

Без возвращения перечислены шесть исходов с разными буквами: АБ, АВ, БА, БВ, ВА, ВБ.
При возвращении добавлены АА, ББ и ВВ, потому что первая карточка снова доступна на втором шаге.

Опыт, результат которого заранее неизвестен

Случайный эксперимент — действие или наблюдение с заранее описанными условиями и возможными результатами, конкретный результат которого заранее не известен. Бросок монеты, измерение времени ожидания автобуса и случайный выбор карточки — разные эксперименты.

Одно выполнение эксперимента называют испытанием. Результат, который мы различаем в модели, — исходом. Множество всех таких исходов обозначают $\Omega$ . Для обычного кубика при записи числа на верхней грани это $\{1,2,3,4,5,6\}$ .

Исход и событие — не одно и то же

Событие — условие, выполнение которого можно проверить по исходу. «Выпала шестёрка» содержит один исход, «выпало чётное» — три. Достоверное событие содержит все исходы, невозможное — ни одного.

Само слово «случайный» не означает, что исходы равновозможны. У несимметричной монеты по-прежнему два исхода, но вероятность орла может быть $0{,}7$ . Вероятности — отдельная часть модели, которую нужно обосновать условиями или оценить по данным.

Сначала правила, потом вычисления

Уточните, что выбирается, каким способом, сколько раз, возвращаются ли предметы и важен ли порядок. При двух бросках монеты удобны упорядоченные исходы $\text{ОО}$ , $\text{ОР}$ , $\text{РО}$ , $\text{РР}$ . Это четыре исхода. Если записывать только число орлов, результатов три: $0$ , $1$ , $2$ ; они уже не равновероятны для честной монеты.

Модель упрощает реальность. В обычной модели монета имеет два исхода; вставание на ребро исключено договорённостью. Если оно существенно для опыта, пространство исходов придётся изменить.

Три примера

Бросаем кубик один раз. Событию «больше четырёх» соответствуют $\{5,6\}$ — два исхода из шести.
Бросаем монету дважды и сохраняем порядок. «Ровно один орёл» — $\{\text{ОР},\text{РО}\}$ . «Орёл при первом броске» — $\{\text{ОО},\text{ОР}\}$ : это другое событие с тем же количеством исходов.
Из мешка с карточками $\text{А}$ , $\text{Б}$ , $\text{В}$ берём две без возвращения, записывая порядок. Исходы: $\text{АБ}$ , $\text{АВ}$ , $\text{БА}$ , $\text{БВ}$ , $\text{ВА}$ , $\text{ВБ}$ . При возвращении добавились бы $\text{АА}$ , $\text{ББ}$ , $\text{ВВ}$ .

Начинайте решение с одного предложения о модели. Оно часто предотвращает ошибку ещё до выбора формулы.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\},\qquad A=\{2,4,6\}\subseteq\Omega

Формула словами: Пространство исходов броска кубика и событие «выпало чётное число».

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик Вероятность события

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.