Вероятность и статистика · Повторные испытания

Первый успех

Вероятность первого успеха на заданном испытании и связь с геометрической моделью.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Геометрическая модель описывает время ожидания до первой удачи, её хвост и отсутствие памяти. Она отличается от задачи о числе успехов в заранее фиксированной серии.

Главная идея. Событие «первый успех на испытании k» задаёт единственный тип порядка: сначала k − 1 неудач, затем успех. Поэтому вероятность равна (1 − p)^(k−1)p без коэффициента сочетаний.

План рассуждения и проверка понимания

Уточните соглашение: T — номер успешного испытания и начинается с единицы, а не число неудач до успеха.
Проверьте независимость попыток и постоянную вероятность 0 < p ≤ 1; при меняющемся p степенная формула не действует.
Для T = k запишите k − 1 множителей неудачи 1 − p и последний множитель успеха p.
Для хвоста T > n используйте отсутствие успеха в первых n попытках, а для T ≤ n возьмите дополнение 1 − (1 − p)ⁿ.

Частая ошибка. Домножить вероятность первого успеха на k, как будто успех можно поставить в любую позицию, хотя условие требует его именно на последнем из первых k шагов.

Как проверить себя. Порядок фиксирован: Н…НУ. Множитель сочетаний нужен для «ровно один успех за k попыток», но не для «первый успех на попытке k».

Схема к теме

Наглядная модель: Первый успех

Вероятность первого успеха на заданном испытании и связь с геометрической моделью.

1. Условия — что известно и что требуется
2. Модель — порядок, повторения и допустимые исходы
3. Подсчёт — каждый вариант учитывается один раз
4. Проверка — малый случай можно выписать вручную

Последовательность отделяет выбор модели от вычисления и не даёт потерять или повторно учесть варианты. Вывод: Сначала ответьте на вопросы о порядке и повторениях, только потом выбирайте формулу.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему при p = 0,2 первый успех на четвёртой попытке имеет вероятность 0,8³ · 0,2 и чем это отличается от одного успеха за четыре попытки.

В хорошем объяснении есть:

Первые три результата обязаны быть неудачами, а четвёртый — успехом, поэтому порядок единственный.
Для ровно одного успеха его позиция могла бы быть одной из четырёх, что дало бы дополнительный множитель 4.

Сначала неудачи, затем успех

В опытах до первого успеха случайно не число успехов, а длительность ожидания. Обозначим $T$ номер испытания, на котором успех появился впервые. Событие $T=k$ требует ровно определённой последовательности: $k-1$ неудач, затем успех. Поэтому множитель числа сочетаний не нужен.

При независимых испытаниях с неизменной вероятностью $p$ получаем $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$ . Это геометрическая модель с нумерацией от единицы. В другой распространённой договорённости считают число неудач до успеха: тогда величина равна $T-1$ и начинается с нуля. Договорённость всегда нужно указывать.

Хвост и отсутствие памяти

Событие $T>n$ означает отсутствие успеха в первых $n$ опытах. Его вероятность $(1-p)^n$ . При $0<p<1$ после любой серии неудач вероятность успеха в следующем испытании всё ещё $p$ . Условная вероятность ждать ещё более $m$ испытаний равна $(1-p)^m$ : прошлые неудачи не «накапливают удачу».

Три примера

При бросках честной монеты первый орёл на третьем броске — последовательность решка, решка, орёл. Вероятность $(1/2)^3=1/8$ .
При $p=0.2$ первый успех на четвёртом испытании имеет вероятность $0.8^3\cdot0.2=0.1024$ .
При $p=0.3$ успех появится не позднее второго испытания с вероятностью $1-0.7^2=0.51$ . Это событие $T\le2$ , а не $T=2$ .

Ограничения

Если вероятность меняется после каждой попытки, степенная формула неверна, хотя последовательность по-прежнему можно перемножить через условные вероятности. При $p=0$ успех не наступает; при $p>0$ он наступает с вероятностью 1 в бесконечной идеализированной серии, но это не ограничивает заранее число попыток конечной константой.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(T=k)=(1-p)^{k-1}p

Формула словами: T — номер первого успеха; независимые испытания, постоянное 0 < p ≤ 1, k ≥ 1.

P(T>n)=(1-p)^n

Формула словами: Первые n испытаний все неуспешны.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Свой эксперимент Хотя бы один успех

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.