Вероятность и статистика · Основы вероятности

Частота и вероятность

Различаем количество успехов, их долю в наблюдениях и вероятность в математической модели.

7 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Частота описывает эксперимент и служит оценкой неизвестной вероятности при сопоставимых условиях. Правильный знаменатель и взвешивание серий важнее простого сравнения количества успехов.

Главная идея. Относительная частота — доля фактически наблюдавшихся успехов m/n в проведённой серии, а вероятность p — параметр математической модели одного испытания. Эти числа могут отличаться в конечных данных.

План рассуждения и проверка понимания

Назовите событие одинаково во всех испытаниях и посчитайте абсолютную частоту успехов m и общее число испытаний n > 0.
Вычислите ν = m/n, сохраняя знаменатель рядом с долей; при n = 0 частота не определена.
Для объединения серий сложите успехи и объёмы или возьмите взвешенное среднее частот с весами n₁ и n₂.
Сравнивайте частоту с модельной вероятностью как случайное наблюдение, проверяя устойчивость условий и отсутствие смещения отбора.

Частая ошибка. Усреднить частоты 0,8 в десяти попытках и 0,4 в девяноста попытках пополам и получить 0,6, будто серии одинакового размера.

Как проверить себя. Восстановите успехи: 8 + 36 = 44 из 100, поэтому общая частота равна 0,44; веса частот — объёмы серий.

Схема к теме

Наглядная модель: Частота и вероятность

Различаем количество успехов, их долю в наблюдениях и вероятность в математической модели.

Частота и вероятность → частота
Частота и вероятность → относительная частота
Частота и вероятность → наблюдения
Частота и вероятность → оценка
Частота и вероятность → данные

Схема связывает понятие «Частота и вероятность» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните, почему 17 шестёрок из 120 бросков дают частоту около 0,1417, но не опровергают вероятность 1/6 для честного кубика.

В хорошем объяснении есть:

Частота вычислена по реально полученным данным как 17/120, а вероятность 1/6 относится к модели каждого броска.
Отличие конечной частоты от p признано нормальным случайным колебанием, а не логическим противоречием.

Что уже произошло

Монету бросили $100$ раз и получили $56$ орлов. Абсолютная частота орла — $56$ , относительная — $56/100=0{,}56$ , или $56\%$ . Частота описывает записанные данные. Вероятность $p$ относится к модели одного испытания.

Если монета в модели честная, $p=0{,}5$ . Это не требование получить ровно $50$ орлов в каждой сотне бросков. Две одинаково устроенные серии могут дать разные частоты. По данным можно оценивать неизвестную вероятность, но оценка не становится точной истиной только потому, что её записали десятичной дробью.

У частоты есть знаменатель

Фраза «было $20$ успехов» неполна для сравнения. Двадцать из двадцати — частота $1$ ; двадцать из тысячи — $0{,}02$ . Если испытаний ещё не было, $n=0$ , относительная частота не определена, а не равна нулю.

Чтобы объединить две серии, складывают числа успехов и испытаний. В серии из $10$ попыток было $8$ успехов, в серии из $90$ — $36$ . Общая частота $(8+36)/(10+90)=0{,}44$ . Простое среднее $0{,}8$ и $0{,}4$ дало бы неправильные $0{,}6$ .

Когда данные говорят о вероятности

Для оценки одной постоянной вероятности нужны сопоставимые испытания: одинаково определённое событие, устойчивые условия, отсутствие систематического отбора. Независимость и одинаковая вероятность позволяют применить стандартную модель повторных испытаний.

Если опрашивать только посетителей одного кружка, большая выборка сама по себе не устраняет смещение. Если вероятность меняется со временем, общая частота смешивает разные условия. «Больше наблюдений» полезно, когда понятно, что именно наблюдается.

Три примера

Кубик показал шестёрку $17$ раз из $120$ . Частота $17/120\approx0{,}1417$ . Для честного кубика модельная вероятность $1/6\approx0{,}1667$ .
После первых $10$ бросков было $6$ орлов. Одиннадцатый бросок дал решку: новая частота $6/11\approx0{,}5455$ , а не $0{,}5$ .
В первой серии $30$ успехов из $50$ , во второй $20$ из $50$ . В объединённой серии $50/100=0{,}5$ . Здесь простое среднее двух частот подходит именно потому, что размеры серий равны.

На графике лаборатории частота может удаляться от теоретической линии, а затем приближаться снова. Более длинная серия не означает улучшения на каждом шаге.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\nu_n(A)=\frac{m_n(A)}{n},\qquad n\ge1

Формула словами: Относительная частота — число наблюдавшихся успехов, делённое на число испытаний.

\nu_{n_1+n_2}=\frac{n_1\nu_{n_1}+n_2\nu_{n_2}}{n_1+n_2}

Формула словами: Частоты двух серий объединяем с весами, равными размерам серий.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Игральный кубик Вероятность события Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.