Вероятность и статистика · Правила вероятности

Включение–исключение

Убираем двойной счёт в объединении нескольких множеств и возвращаем вычтенное лишний раз.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Метод нужен для подсчёта людей в нескольких кружках, вероятности хотя бы одного события и любых объединений, где один объект может удовлетворять нескольким условиям и потому попадает в простую сумму неоднократно.

Главная идея. Формула включения–исключения исправляет повторный счёт: сначала складывает размеры отдельных множеств, затем вычитает парные пересечения, а для трёх множеств возвращает тройное пересечение один раз.

План рассуждения и проверка понимания

Уточните, означают ли данные полные пересечения A∩B или области «только A и B без C», поскольку это разные числа.
Сложите одиночные множества, вычтите все парные пересечения и добавьте тройное пересечение, если работают три множества.
Проверьте коэффициент мысленной точки каждой области и убедитесь, что итог не меньше отдельного множества и не больше всей совокупности.

Частая ошибка. Вычесть парные пересечения у трёх множеств и забыть вернуть тройную часть, хотя она была сначала посчитана трижды, а затем вычтена ещё три раза.

Как проверить себя. Проследите одну точку тройного пересечения: коэффициент 3 − 3 + 1 равен единице; именно последний плюс делает её учтённой ровно один раз.

Схема к теме

Наглядная модель: Включение–исключение

Убираем двойной счёт в объединении нескольких множеств и возвращаем вычтенное лишний раз.

Включение–исключение → включение исключение
Включение–исключение → три события
Включение–исключение → объединение
Включение–исключение → двойной счёт

Схема связывает понятие «Включение–исключение» с его ключевыми признаками. Вывод: Свяжите определение, условия и обозначения: тогда формула станет краткой записью уже понятной идеи.

Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Объясните знаки в формуле для трёх событий, проследив отдельно точку только одного события, точку ровно двух событий и точку, принадлежащую всем трём.

В хорошем объяснении есть:

Для каждой области явно посчитано, сколько раз она добавляется и вычитается.
Различены полные парные пересечения и области без третьего множества.

Почему чередуются знаки

Для двух событий сумма отдельных вероятностей дважды учитывает общую часть, поэтому пересечение вычитают. Для трёх после вычитания всех парных пересечений точки, принадлежащие всем трём событиям, оказываются удалены полностью. Их нужно добавить обратно один раз.

Проверим точку тройного пересечения: сначала она посчитана трижды, потом вычтена трижды, затем добавлена один раз. Итоговый коэффициент равен единице. Для точки ровно двух событий коэффициент $2-1=1$ , для точки одного — сразу $1$ .

Количества и вероятности

Формула одинаково работает для числа элементов конечных множеств и для вероятностей событий. При переходе к вероятностям не требуется равновозможности исходов: аддитивность применяется к непересекающимся частям разбиения.

В данных про три кружка фраза «посещают A и B» обычно включает посещающих третий кружок тоже. Если даны значения «только A и B, без C», это уже отдельные области: их нельзя без преобразования подставлять как полные парные пересечения.

Условия и проверка

Все множества относятся к одной совокупности, а числа пересечений должны быть совместимы. Итог не больше полного размера и не меньше размера любого отдельного множества. Формула не исправляет противоречивые входные данные.

В школьной карте включение–исключение относится к углублению 8 класса и развивается в старших маршрутах. Общая запись для $n$ множеств служит расширением; для трёх можно сначала рассуждать по отдельным областям.

Три примера

В группах $12$ и $9$ человек, общих $4$ . Разных людей в объединении $12+9-4=17$ .
Три множества имеют размеры $10,8,7$ , парные пересечения $3,2,4$ , тройное $1$ . Объединение содержит $10+8+7-3-2-4+1=17$ .
Для вероятностей $0{,}5,0{,}4,0{,}3$ , парных $0{,}2,0{,}1,0{,}15$ и тройной $0{,}05$ объединение имеет вероятность $0{,}8$ . Ни одного события — $0{,}2$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)

Формула словами: Тройное пересечение возвращается один раз после вычитания трёх парных.

\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{\varnothing\ne I\subseteq\{1,\ldots,n\}}(-1)^{|I|+1}\left|\bigcap_{i\in I}A_i\right|

Формула словами: Конечная формула подсчёта чередует суммы одиночных, парных, тройных и последующих пересечений.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Диаграмма Венна

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.