Отношения и пропорции

Сравнение через деление

Отношение $a:b$ показывает, во сколько раз первая величина составляет вторую. Для двух величин одной природы сначала приводят единицы к общим: отношение $1$ метра к $25$ сантиметрам равно $100:25=4$, а не $1:25$.

В отношении числа красных и синих жетонов $2:3$ на каждые две условные части красных приходится три синих. Красная доля всего набора равна $2/(2+3)=2/5$. Отношение красных к синим и доля красных среди всех — разные вопросы.

Равные отношения

Пропорция — равенство двух отношений. Умножение обеих частей отношения на одно ненулевое число его сохраняет: $2:3=8:12$. Удобно найти размер одной условной части, разделив общий итог на сумму коэффициентов.

Из равенства $a/b=c/d$ при ненулевых знаменателях следует $ad=bc$: обе стороны умножаются на $bd$. Обратный переход также требует ненулевых знаменателей. «Перемножить крест-накрест» — краткая запись этого преобразования, а не правило для любой записи с четырьмя числами.

Когда пропорция не подходит

Прямая пропорциональность означает постоянное отношение величин. Если к цене билетов добавляют фиксированный сбор, итоговая цена уже не пропорциональна числу билетов. Сначала описывают зависимость, затем выбирают способ решения.

В вероятностной задаче отношение количеств не задаёт вероятности выбора автоматически: нужен равномерный выбор объектов. Если размеры предметов влияют на шанс извлечения, одной численности недостаточно.

Три примера

1. Отношение $18:24$ сокращается на $6$ и равно $3:4$.
2. $35$ жетонов разделены на красные и синие в отношении $2:5$. Всего семь частей, одна равна $5$; красных $10$, синих $25$.
3. Три одинаковые тетради стоят $90$ рублей без дополнительных сборов. Пять стоят $90\cdot5/3=150$ рублей. Постоянная цена одной тетради обосновывает пропорцию.