Умблик
Справочник вероятности
Статистика и данные
Вероятность и статистика · Статистика и данные

Среднее гармоническое

Как усреднять скорости на равных расстояниях и почему обычное среднее бывает неверным.

6 минут на чтениеЗаданий для самопроверки: 3

Чему научимся

Оно нужно для честного усреднения скоростей на равных расстояниях и похожих интенсивностей. Обычное среднее 30 и 60 даёт 45, но на медленном участке проводят больше времени, поэтому средняя скорость пути равна 40.

Главная идея. Гармоническое среднее — обратная величина к среднему обратных чисел: H = n/(1/x₁ + … + 1/xₙ). Оно возникает, когда складываются времена или другие величины, обратно пропорциональные данным скоростям.

План рассуждения и проверка понимания
  1. Определите, что в условии одинаково: расстояния, времена или другие веса; от этого зависит выбор среднего.
  2. Для равных расстояний запишите времена как d/xᵢ, сложите их и разделите полный путь nd на суммарное время.
  3. Сократите общий множитель d, получите гармоническое среднее и проверьте, что оно не больше арифметического для положительных чисел.

Частая ошибка. Автоматически усреднять скорости арифметически, не проверив, равны ли времена движения или расстояния, и применять формулу при нулевой скорости без анализа остановки.

Как проверить себя. Всегда возвращайтесь к определению «весь путь / всё время»: равные расстояния приводят к гармоническому среднему, равные времена — к арифметическому, а неодинаковые участки требуют весов.

Схема к теме

Наглядная модель: Среднее гармоническое

Как усреднять скорости на равных расстояниях и почему обычное среднее бывает неверным.

Наглядная модель: Среднее гармоническоеКак усреднять скорости на равных расстояниях и почему обычное среднее бывает неверным.3 наблюденияA7 наблюденияB5 наблюденияC
  • A: 3 наблюдения — ниже общего уровня
  • B: 7 наблюдения — наибольшее значение
  • C: 5 наблюдения — между крайними
Одинаковая шкала помогает сравнить значения; точный вывод делают по числам, а не только по высоте столбиков. Вывод: Перед вычислением статистики проверьте шкалу, единицы и состав набора данных.
Проверка пониманияОбъясните тему своими словами

Поясните без ссылки на готовую формулу, почему поездка по половине пути со скоростью 30 км/ч и по половине со скоростью 60 км/ч имеет среднюю скорость 40, а не 45 км/ч.

В хорошем объяснении есть:

  • Сравнено время на медленном и быстром участках одинаковой длины.
  • Средняя скорость получена как полный путь, делённый на полное время.

Среднее обратных величин

Среднее гармоническое положительных чисел x1,…,xnx_1,\ldots,x_n определяется как H=n/(1/x1+⋯+1/xn)H=n/(1/x_1+\cdots+1/x_n). Оно полезно, когда суммируются величины, обратно пропорциональные данным числам. Наиболее знакомая ситуация — средняя скорость при прохождении равных расстояний с разными скоростями.

Скорость всего пути — весь путь, делённый на всё время. Для равных участков длины dd времена равны d/vid/v_i. Поэтому общая скорость nd/∑i(d/vi)nd/\sum_i(d/v_i) как раз равна гармоническому среднему скоростей. Длина сокращается, но условие равенства расстояний не исчезает.

Когда нужна другая формула

При равных временах движения средняя скорость является арифметическим средним. При неодинаковых расстояниях следует сначала сложить расстояния и времена или использовать взвешенное гармоническое среднее с весами расстояний. Здесь рассматриваем положительные значения: остановка с нулевой скоростью и заданным временем требует отдельного учёта.

Три примера

  1. Половину пути проехали со скоростью 30, половину — 60 км/ч. Средняя скорость 2/(1/30+1/60)=402/(1/30+1/60)=40 км/ч, а не 45.
  2. Гармоническое среднее чисел 2 и 6 равно 2/(1/2+1/6)=32/(1/2+1/6)=3. Оно ближе к меньшему числу, чем арифметическое среднее 4.
  3. Три равных участка пройдены со скоростями 20, 30 и 60 км/ч. Сумма обратных скоростей 1/20+1/30+1/60=1/101/20+1/30+1/60=1/10, итоговая скорость 30 км/ч.

Ошибки и проверка

Нужно выяснять, что в задаче одинаково: время, расстояние, количество товара или денежная сумма. Для положительных чисел гармоническое среднее не превышает арифметического, а равенство достигается при одинаковых значениях. Это полезная проверка, но не основание выбирать формулу без модели задачи. Тема относится к углублённому материалу 7 класса.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

H=n∑i=1n1/xiH=\frac n{\sum_{i=1}^n1/x_i}

Формула словами: Для положительных xᵢ: обратная величина к среднему их обратных.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Открываем задание…

Открываем задание…

Открываем задание…

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.